Bekommt man in einem genehmigten Privatgymnasium die mittlere Reife?

Nein.

Es ist zwar grundsätzlich so, dass bayerische Schüler die Mittlere Reife automatisch erhalten, wenn sie die zehnte Klasse des Gymnasiums mit Erfolg besucht, also die Versetzung in die elfte Klasse geschafft haben.

§ 39 Abs. 9 der gymnasialen Schulordnung (BayGSO) sagt dazu:

Im Jahreszeugnis der Jahrgangsstufe 10 erhalten alle Schülerinnen und Schüler, die diese Jahrgangsstufe mit Erfolg besucht haben, den zusätzlichen Vermerk: „Dieses Zeugnis schließt den Nachweis eines mittleren Schulabschlusses ein.“

Dies gilt jedoch nicht für staatlich genehmigte Privatschulen, da diese keine offiziellen Zeugnisse ausstellen dürfen.